【題目】已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為、，當動點在定直線上運動時，直線分別交橢圓于兩點、，求四邊形面積的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ） 離心率為，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為，結(jié)合,列方程組求得 的值，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）點，直線的方程代入橢圓方程，得，利用韋達定理解出點坐標，同理可求得 點的坐標，利用三角形面積公式將四邊形面積表示為 的函數(shù)，利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.

試題解析：（Ⅰ）由題設知， ，

又，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）由于對稱性，可令點，其中.

將直線的方程代入橢圓方程，得，

由， 得，則.

再將直線的方程代入橢圓方程，得，

由， 得，則.

故四邊形的面積為 .

由于，且在上單調(diào)遞增，故，

從而，有.

當且僅當，即，也就是點的坐標為時，四邊形的面積取最大值6.

注:本題也可先證明”動直線恒過橢圓的右焦點”,再將直線的方程 (這里)代入橢圓方程,整理得,然后給出面積表達式 ,令,

則,當且僅當即時, .

練習冊系列答案
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④ω為正實數(shù)，y=2sinωx在 上遞增，那么ω的取值范圍是 ；
⑤在y=3sin（2x+ ）中，若f（x1）=f（x2）=0，則x1﹣x2必為π的整數(shù)倍；
⑥若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA在第二象限；
⑦在△ABC中，若 ，則△ABC鈍角三角形．其中真命題個數(shù)為（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

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（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；

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【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）是否存在實數(shù)t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0對一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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