【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面為正三角形,且平面 平面, 中點(diǎn), .

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)若二面角的平面角大小滿(mǎn)足,求四棱錐的體積.

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)由正三角形性質(zhì)可得,再利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面,從而,則 ,由線(xiàn)面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得平面;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,令,求出平面的法向量以及平面的法向量,根據(jù)二面角的平面角大余弦值列方程求出,利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)取中點(diǎn)為 中點(diǎn)為,

由側(cè)面為正三角形,且平面平面平面,故

,則平面,所以

,則,又中點(diǎn),則,

由線(xiàn)面垂直的判定定理知平面,

平面,故平面平面.

(Ⅱ)

如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,

,則.

由(Ⅰ)知為平面的法向量,

為平面的法向量,

由于均與垂直,

解得

,由 ,解得.

故四棱錐的體積.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的判定定理、利用空間向量求二面角以及棱錐的體積公式,屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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