【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的單調區(qū)間;

2)若函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù))恰有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1)單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;(2.

【解析】

(1)先根據(jù)題意求得函數(shù)的定義域,再對函數(shù)求導,利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間即可;

(2)先將函數(shù)恰有一個零點等價轉化為方程上恰有一解,然后換元,構造函數(shù),利用分類討論思想進行求解,也可分離參數(shù),構造新函數(shù),利用導數(shù)研究新函數(shù)的圖象,數(shù)形結合即可求解.

(1)由題意知,函數(shù)的定義域為,則

時,,函數(shù)單調遞增;

時,,函數(shù)單調遞減,

所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是

(2)解法1、由函數(shù)恰有一個零點,等價于方程上恰有一解,即方程上恰有一解,

,易知上單調遞增,

且當時,,當時,,所以,

所以方程上恰有一解,

,則

①當時,,所以函數(shù)單調遞增,

又當時,,且,

所以當時,方程上恰有一解,滿足題意.

②當時,方程上恰有一解,滿足題意.

③當時,由,得,

時,,單調遞增,

時,,單調遞減.

又當時,,當時,,

所以當,即時,方程上恰有一解.

綜上所述,實數(shù)的取值范圍為

解法2、 函數(shù)恰有一個零點,等價于方程上恰有一解,即方程上恰有一解.

,易知上單調遞增,

且當時,,當時,,所以,

所以方程上恰有一解,

即方程上恰有一解.

,則,

所以函數(shù)上單調遞增,在上單調遞減.

又當時,,當時,,且當時,,,

所以作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示,

數(shù)形結合可知,

故實數(shù)的取值范圍為

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