【題目】已知函數(shù)，且的最小值為．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）或；，；（2）或．

【解析】

（1）先根據(jù)二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化為（，，為常數(shù)，且，）的形式，再根據(jù)函數(shù)的最小值求實(shí)數(shù)的值，最后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將在上有僅有一個零點(diǎn)等價轉(zhuǎn)化為時，與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合即可求解．

（1）由題意知，

，

其中，

由的最小值為，得，

解得或，

∵，∴，

∴．

令，，解得，，

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．

（2）∵在上有僅有一個零點(diǎn)，

∴當(dāng)時，與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)．

當(dāng)時，，

令，，，則與，的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)或時符合要求，

即或時符合要求，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為或．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足，當(dāng)時，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若曲線在處的切線與曲線也相切．

①求實(shí)數(shù)a的值；

②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，求證：當(dāng)時，恰好有2個零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，為橢圓上兩點(diǎn)，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為2，點(diǎn)，滿足，求直線被圓截得弦長的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)在微信上查詢到近十年全國高考報名人數(shù)、錄取人數(shù)和山東夏季高考報名人數(shù)的折線圖，其中年的錄取人數(shù)被遮擋了．他又查詢到近十年全國高考錄取率的散點(diǎn)圖，結(jié)合圖表中的信息判定下列說法正確的是（ ）

A.全國高考報名人數(shù)逐年增加

B.年全國高考錄取率最高

C.年高考錄取人數(shù)約萬

D.年山東高考報名人數(shù)在全國的占比最小

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC，，，，D，E分別為棱BC，PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PA上，設(shè)．

（1）當(dāng)時，求異面直線DF與BE所成角的余弦值；

（2）試確定t的值，使二面角C-EF-D的平面角的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語翻譯，小李等3名日語翻譯，另外2名既能翻譯英語又能翻譯日語，現(xiàn)需選取5名翻譯參加翻譯工作，3名翻譯英語，2名翻譯日語，且小張與小李恰有1人選中，則有____種不同選取方法.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了打擊海盜犯罪，甲、乙、丙三國海軍進(jìn)行聯(lián)合軍事演習(xí)，分別派出一艘軍艦A，B，C.演習(xí)要求：任何時刻軍艦A、B、C均不得在同一條直線上.

（1）如圖1，若演習(xí)過程中，A、B間的距離始終保持，B，C間的距離始終保持，求的最大值.

（2）如圖2，若演習(xí)過程中，A，C間的距離始終保持，B、C間的距離始終保持.且當(dāng)變化時，模擬海盜船D始終保持：到B的距離與A、B間的距離相等，，與C在直線AB的兩側(cè)，求C與D間的最大距離.

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