【題目】已知數(shù)列滿足,當(dāng)時(shí),.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.
【答案】(1)(2)證明見解析;
【解析】
(1)根據(jù)原等式遞推,得到和之間的關(guān)系,然后得到數(shù)列是等差數(shù)列,最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,也可將已知等式轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系式,得到數(shù)列是等差數(shù)列,并求出,再根據(jù)和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)先由(1)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,并將其轉(zhuǎn)化為可以裂項(xiàng)的形式,再利用裂項(xiàng)相消法求得,最后根據(jù)數(shù)列的增減性即可證明.
解:(1)因?yàn)楫?dāng)時(shí),,①
所以,②
②-①得,,即,即,
又,所以,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,
所以,所以.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)由(1)知,
所以,
所以
.
又?jǐn)?shù)列是遞減數(shù)列,所以,
所以,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知圓和圓的極坐標(biāo)方程分別是和.
(1)求圓和圓的公共弦所在直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線:與圓的交點(diǎn)為O、P,與圓的交點(diǎn)為O、Q,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為F到直線的距離為,拋物線的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)F重合,過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S,T兩點(diǎn),交拋物線于C,D兩點(diǎn),且.
(1)求橢圓E及拋物線G的方程;
(2)過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交橢圓于A,B點(diǎn),交拋物線于M,N兩點(diǎn),如圖所示,請(qǐng)問是否存在實(shí)常數(shù),使為常數(shù),若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年3月22日是第二十八屆“世界水日”3月22-28日是第三十三屆“中國(guó)水周”,主題為“堅(jiān)持節(jié)水優(yōu)先,建設(shè)幸福河湖”,效仿階梯電價(jià),某市準(zhǔn)備實(shí)施階梯水價(jià).階梯水價(jià)原則上以一套住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn),具體劃分階梯如下:
梯類 | 第一階梯 | 第二階梯 | 第三階梯 |
月用水量范圍(立方米) |
從本市居民用戶中隨機(jī)抽取10戶,并統(tǒng)計(jì)了在同一個(gè)月份的月用水量,得到如圖所示的莖葉圖
(1)若從這10戶中任意抽取三戶,求取到第二階梯用戶數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)用以上樣本估計(jì)全市的居民用水情況,現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取10戶,則抽到多少戶為第二階梯用戶的可能性最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)以的邊為長(zhǎng)軸且過點(diǎn)的橢圓的方程為橢圓的離心率,面積的最大值為,和所在的直線分別與直線相交于點(diǎn),.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)與的外接圓的面積分別為,,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn),點(diǎn)滿足
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)為直線上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)號(hào)為1,2,3的三位小學(xué)生,在課余時(shí)間一起玩“擲骰子爬樓梯”游戲,規(guī)則如下:投擲一顆骰子,將每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)除以3,若學(xué)號(hào)與之同余(同除以3余數(shù)相同),則該小學(xué)生可以上2階樓梯,另外兩位只能上1階樓梯,假定他們都是從平地(0階樓梯)開始向上爬,且樓梯數(shù)足夠多.
(1)經(jīng)過2次投擲骰子后,學(xué)號(hào)為1的同學(xué)站在第X階樓梯上,試求X的分布列;
(2)經(jīng)過多次投擲后,學(xué)號(hào)為3的小學(xué)生能站在第n階樓梯的概率記為,試求,,的值,并探究數(shù)列可能滿足的一個(gè)遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且的最小值為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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