【題目】已知圓M的方程為,直線l的方程為,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
若,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
求四邊形PAMB面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
求證:經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)或;(2)四邊形PAMB面積的最小值為,P的坐標(biāo)為;(3)見解析.
【解析】
設(shè),連接MP,分析易得,即有,解可得m的值,即可得答案;
根據(jù)題意,分析易得,又由,當(dāng)MP最小時(shí),即直線MP與直線l垂直時(shí),四邊形PAMB面積最小,設(shè)出P的坐標(biāo),則有,解可得n的值,進(jìn)而分析MP的最小值,求出四邊形PAMB面積,即可得答案;
根據(jù)題意,分析可得:過A,P,M三點(diǎn)的圓為以MP為直徑的圓,設(shè)P的坐標(biāo)為,用m表示過A,P,M三點(diǎn)的圓為,結(jié)合直線與圓位置關(guān)系,分析可得答案.
根據(jù)題意,點(diǎn)P在直線l上,
設(shè),連接MP,
因?yàn)閳AM的方程為,
所以圓心,半徑.
因?yàn)檫^點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B;
則有,,且,
易得≌,
又由,即,
則,
即有,
解可得:或,
即P的坐標(biāo)為或;
根據(jù)題意,≌,則,
又由,
當(dāng)MP最小時(shí),即直線MP與直線l垂直時(shí),四邊形PAMB面積最小,
設(shè)此時(shí)P的坐標(biāo)為;有,解可得,
即P的坐標(biāo)為;
此時(shí),則四邊形PAMB面積的最小值為;
根據(jù)題意,PA是圓M的切線,則,則過A,P,M三點(diǎn)的圓為以MP為直徑的圓,
設(shè)P的坐標(biāo)為,,
則以MP為直徑的圓為,
變形可得:,即;
則有,解可得:或;
則當(dāng)、和、時(shí),恒成立,
則經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),且定點(diǎn)的坐標(biāo)為和
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【題目】已知直線l: (t為參數(shù),α為l的傾斜角),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C為:ρ2﹣6ρcosθ+5=0.
(1)若直線l與曲線C相切,求α的值;
(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y),求x+y的取值范圍.
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【題目】如圖所示,P是△ABC所在平面外的一點(diǎn),點(diǎn)A′,B′,C′分別是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求證:平面ABC∥平面A′B′C′;
(2)求△A′B′C′與△ABC的面積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在高為2的梯形ABCD中,,,,過A、B分別作,,垂足分別為E、已知,將D、C沿AE、BF折向同側(cè),得空間幾何體,如圖2.
若,求證:;
若,線段AB的中點(diǎn)是P,求CP與平面ACD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】銳角△ABC中,其內(nèi)角A,B滿足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大;
(2)D為AB的中點(diǎn),CD=1,求△ABC面積的最大值.
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【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)的是( )
A.
B.y=|x|﹣1
C.y=lgx
D.
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【題目】如圖四棱錐中,底面ABCD是平行四邊形,平面ABCD,垂足為G,G在AD上,且,,,,E是BC的中點(diǎn).
求異面直線GE與PC所成的角的余弦值;
求點(diǎn)D到平面PBG的距離;
若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn),且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(﹣2sin(π﹣x),cosx), =( cosx,2sin( ﹣x)),函數(shù)f(x)=1﹣ .
(1)若x∈[0, ],求函數(shù)f(x)的值域;
(2)當(dāng)x∈[0,π]時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為 ,橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離為3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)斜率存在的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),并且滿足|2 + |=|2 ﹣ |,求直線在y軸上截距的取值范圍.
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