【題目】如圖所示,P是△ABC所在平面外的一點,點A′,B′,C′分別是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求證:平面ABC∥平面A′B′C′;
(2)求△A′B′C′與△ABC的面積之比.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)分別連接PA′,PB′,PC′并延長交BC,AC,AB于點D,E,F(xiàn),連接DE,EF,DF.推導(dǎo)出A′C′∥DF.從而A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.由此能證明平面ABC∥平面A′B′C′;(2)推導(dǎo)出A′C′∥AC且A′C′=AC.A′B′∥AB且A′B′=AB,B′C′∥BC且B′C′=BC,由此能求出△A′B′C′與△ABC的面積之比.
(1)證明:分別連接PA′,PB′,PC′并延長交BC,AC,AB于點D,E,F(xiàn),連接DE,EF,DF.
∵點A′,C′分別是△PBC,△PAB的重心,
∴PA′=PD,PC′=PF,
∴A′C′∥DF.
∵A′C′平面ABC,DF平面ABC,∴A′C′∥平面ABC.
同理,A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′=A′,A′C′,A′B′平面A′B′C′,
∴平面ABC∥平面A′B′C′.
(2)解 由(1)知A′C′∥DF且A′C′=DF,
又DF∥AC且DF=AC,
∴A′C′∥AC且A′C′=AC.
同理,A′B′∥AB且A′B′=AB,B′C′∥BC且B′C′=BC,
∴△A′B′C′∽△ABC,
∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.
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【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,點P是線段A1C1上的動點,則四棱錐P﹣ABCD的外接球半徑R的取值范圍是
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)在上為增函數(shù),求正實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,已知圓O外有一點P,作圓O的切線PM,M為切點,過PM的中點N,作割線NAB,交圓于A,B兩點,連接PA并延長,交圓O于點C,連續(xù)PB交圓O于點D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
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【題目】(1)求經(jīng)過直線l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交點且平行于直線2x+y-3=0的直線方程.
(2)求證:不論m取什么實數(shù),直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個定點,并求出這個定點的坐標.
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【題目】數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}滿足b3=3,b5=9.
(1)分別求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設(shè)Cn= (n∈N*),求證Cn+1<Cn .
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【題目】已知:動點P,Q都在曲線C: (t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點.
(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;
(2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點.
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【題目】已知圓M的方程為,直線l的方程為,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
若,試求點P的坐標;
求四邊形PAMB面積的最小值及此時點P的坐標;
求證:經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標.
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【題目】盒子里裝有大小質(zhì)量完全相同且分別標有數(shù)字1、2、3、4的四個小球,從盒子里隨機摸出兩個小球,那么事件“摸出的小球上標有的數(shù)字之和大于數(shù)字之積”的概率是______.
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