Question

【題目】已知向量 =（﹣2sin（π﹣x），cosx）， =（ cosx，2sin（ ﹣x）），函數(shù)f（x）=1﹣ ．
（1）若x∈[0， ]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意： =（﹣2sin（π﹣x），cosx）， =（ cosx，2sin（ ﹣x）），

函數(shù)f（x）=1﹣

=1+2 cosxsin（π﹣x）﹣2cosxsin（ ﹣x）

=1+2 sinxcosx﹣2cos2x

=1+ sin2x﹣1﹣cos2x

= sin2x﹣cos2x

=2sin（2x﹣ ），

當(dāng)x∈[0， ]時，2x- ∈[- ， ]，

當(dāng)x=- 時，f（x）取值最小值為﹣1，

當(dāng)x= 時，f（x）取得最大值為2，

所以函數(shù)f（x）的值域為[﹣1，2]

（2）解：由（1）可得f（x）=2sin（2x﹣ ），

由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可知：單調(diào)遞增區(qū)間為[ ， ]（k∈Z）．

即 ≤ （k∈Z）．

解得： （k∈Z）．

又∵x∈[0，π]

當(dāng)k=0時，可得： ．

當(dāng)k=1時，可得： ．

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0， ]和[ ，π]

【解析】（1）利用向量的乘積運算求出f（x）的解析式，將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，在求解x∈[0， ]，函數(shù)f（x）的最值，即可得值域．（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．