如圖,在四棱錐中,底面,,點為棱的中點.

(1)證明:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)若為棱上一點,滿足,求二面角的余弦值.

(1)詳見試題分析;(2)直線與平面所成角的正弦值為;(3)

解析試題分析:(1)可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積來證明。也可以利用綜合法:要證,由于是異面直線,可將問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直。由于點為棱的中點,可以先取中點,連結(jié),從而可證得。由線面垂直的判定定理易證平面,從而,最后證得;(2)向量法:先求平面的法向量,然后利用公式求直線與平面所成角的正弦值.綜合法:在(I)的基礎(chǔ)上,可先證明為直線與平面所成的角,在直角三角形中,利用銳角三角函數(shù)即可求得直線與平面所成角的正弦值;(3)向量法:先求平面和平面的法向量,再利用公式來求二面角的余弦值.綜合法:先利用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角,再利用解三角形的有關(guān)知識求其余弦值.
(方法一)依題意,以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得,,,.由為棱的中點,得

(1)向量,,故. ∴
(2)向量,.設(shè)為平面的法向量,則不妨令,可得為平面的一個法向量.于是有,∴直線與平面所成角的正弦值為
(3)向量,,.由點在棱上,設(shè),,故,由,得,因此,,解得,即.設(shè)為平面的法向量,則

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已知向量,若,則______;

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如下圖所示,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)設(shè)點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.

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如圖,三棱柱中,點在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,,.
(1)證明:;
(2)設(shè)直線與平面的距離為,求二面角的大小.

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(12分)(2011•重慶)如圖,在四面體ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1

(Ⅰ)求四面體ABCD的體積;
(Ⅱ)求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值.

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在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1⊥面ABC,AA1=a,A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D為AA1中點.
(1)求證:CD⊥面ABB1A1;
(2)在側(cè)棱BB1上確定一點E,使得二面角E-A1C1-A的大小為.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(1)證明:PA⊥BD;
(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

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如圖,已知的直徑,點、上兩點,且,為弧的中點.將沿直徑折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖2).

(1)求證:
(2)在弧上是否存在點,使得平面?若存在,試指出點的位置;若不存在,請說明理由;
(3)求二面角的正弦值.

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在空間直角坐標(biāo)系中,A兩點之間的距離為             

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