如圖，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的正弦值.

(1)證明過程詳見解析（2）在弧上存在點,且點為弧的中點;（3）。

解析試題分析：（1）連結(jié)CO，則CO⊥AB，證明∠FOB=∠CAB，從而得出OF∥AC；（2）找出弧BD的中點G，證明OG∥AD，由（1）知，OF∥AC，先證明線面平行，在證明面面平行；（3）用三垂線法作出二面角C-AD—B的平面角，再通過解三角形，求出二面角平面角的余弦值，或建立空間直角坐標系，利用向量法證明平行和求二面角.
試題解析:（法一）：證明：（1）如右圖，連接，
，，
又為弧的中點，，．
（2）取弧的中點，連接，
則，故，
由（1），知平面，故平面平面，
則平面，因此，在弧上存在點，使得平面，且點為弧的中點．
（3）過作于，連．
因為，平面平面，故平面．
又因為平面，故，所以平面，，
則是二面角的平面角，又，，故．
由平面，平面，得為直角三角形，
又，故，可得==，故二面角的正弦值為.
（法二）：證明：（1）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點，作空間直角坐標系，

則，
，
點

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點．

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如下圖，在三棱錐中，底面，點為以為直徑的圓上任意一動點，且，點是的中點，且交于點.
（1）求證：面；
（2）當時，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中點，E,G分別為PC,CB的中點，將三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中點，求證：AP平面EFG;（2）當二面角G-EF-D的大小為時，求FG與平面PBC所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，于，延長AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示.

（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在線段上是否存在點使得平面？若存在,請指明點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點，是線段上的點．

（1）當是的中點時，求證：平面；
（2）要使二面角的大小為，試確定點的位置．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．

(1)求證：BC平面PBD：
(2)求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
(3)設E為側(cè)棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角E－BD－P的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝a，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點.

（1）若AC1⊥D1F，求a的值；
（2）若a＝2，求二面角E－FD1－D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱中，△ABC是正三角形，，平面平面，.

（1）證明：；
（2）證明：求二面角的余弦值；
（3）設點是平面內(nèi)的動點，求的最小值．

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