如圖，三棱柱中，△ABC是正三角形，，平面平面，.

（1）證明：；
（2）證明：求二面角的余弦值；
（3）設(shè)點是平面內(nèi)的動點，求的最小值．

（1）證明過程詳見試題解析；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）如圖，取的中點,連結(jié)、,

因為是正三角形，所以,又因為,所以;由,那么,所以;（2）由（1）結(jié)合條件可以得到就是二面角的平面角，在直角三角形中，有,又那么在直角三角形中，可根據(jù)勾股定理求出,那么;（3）以為坐標(biāo)原點建立直角平面坐標(biāo)系，要使得最小，就是要找出點關(guān)于平面的對稱點,求出即可.因此建立如解析中空間直角坐標(biāo)系求.
試題解析：（1）證明：∵ ，△是正三角形，
∴ ，
∴ ,
又∵ ,∴△是正三角形，
取中點，連結(jié)、，則
又∵，
∴,
又∵,
∴  
（2）證明：∵，由（1）知，
∴，
∴；
∵
   ∴
∵,∴ ，
在
∴
（3）解：延長至使，連結(jié)、、，
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)是，
則就是的最小值，

考點：立體幾何中的垂直問題；成角問題；距離問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段ED于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。

（1）求證BC⊥平面AFG；
（2）求二面角B－AE－D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)．

(1)求證：AE⊥平面BDC；
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分別為的中點.

（1）求>的值；
（2）求證： 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，F(xiàn)A⊥CD.

(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點C的直線l與直線DF平行；
(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，原點O是BC的中點，A點坐標(biāo)為，D點在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（Ⅰ）求D點坐標(biāo)；
（Ⅱ）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

三棱柱ABC－A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中點．

(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．

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