如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點,于,延長AE交BC于F,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示.
(1)求證:AE⊥平面BCD;
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在線段上是否存在點使得平面?若存在,請指明點的位置;若不存在,請說明理由.
(1)詳見解析,(2),(3)
解析試題分析:(1)已知條件為面面垂直,,因此可利用定理轉(zhuǎn)化為線面垂直.折疊前后皆有而平面,為兩平面的交線,由平面ABD平面BCD,可得AE⊥平面BCD.(2)求二面角,有兩個方法,一是做出二面角的平面角,二是利用空間向量.本題由于有AE⊥平面BCD,可利用三垂線定理及其逆定理做出二面角的平面角,即過點E作EM垂直CD于M,連AM,則AM垂直CD,所以為二面角的平面角.利用空間向量求二面角,關(guān)鍵求出面的法向量,由于平面可知平面DCB的法向量為.平面的法向量可列方程組求出,再利用向量的數(shù)量積求出其夾角的余弦值.(3)探索點,從線面平行性質(zhì)定理出發(fā),利用平面得EM平行過EM平面與平面的交線.由于過EM平面的任意性,難以確定M位置.本題利用空間向量解決就比較簡單,設(shè),利用法向量與平面內(nèi)任一直線垂直,可解出,從而確定M位置.
試題解析:(1)因為平面平面,交線為,
又在中,于,平面
所以平面. 3分
(2)由(1)結(jié)論平面可得.
由題意可知,又.
如圖,以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系
4分
不妨設(shè),則.
由圖1條件計算得,,,
則 5分
.
由平面可知平面DCB的法向量為. 6分
設(shè)平面的法向量為,則
即
令,則,所以. 8分
平面DCB的法向量為
所以,
所以二面角的余弦值為 9分
(3)設(shè),其中.
由于,
所以,其中
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如圖,三棱柱中,點在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,,.
(1)證明:;
(2)設(shè)直線與平面的距離為,求二面角的大小.
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如圖所示的幾何體中,面為正方形,面為等腰梯形,,,,且平面平面.
(1)求與平面所成角的正弦值;
(2)線段上是否存在點,使平面平面?
證明你的結(jié)論.
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如圖,四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱底面,過作垂直交于點,作垂直交于點,平面交于點,且,.
(1)設(shè)點是上任一點,試求的最小值;
(2)求證:、在以為直徑的圓上;
(3)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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如圖,已知的直徑,點、為上兩點,且,,為弧的中點.將沿直徑折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖2).
(1)求證:;
(2)在弧上是否存在點,使得平面?若存在,試指出點的位置;若不存在,請說明理由;
(3)求二面角的正弦值.
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如圖,已知四棱錐,底面是等腰梯形,
且∥,是中點,平面,
, 是中點.
(1)證明:平面平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.
求證:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
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如圖(1),四邊形ABCD中,E是BC的中點,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.將圖(1)沿直線BD折起,使得二面角ABDC為60°,如圖(2).
(1)求證:AE⊥平面BDC;
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值.
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