已知函數(shù)()。
(1)若,求證:在上是增函數(shù);
(2)求在上的最小值。
(1)見(jiàn)解析;(2).
解析試題分析:(1)求導(dǎo)數(shù),證明當(dāng)時(shí),.
(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,往往通過(guò)“求導(dǎo)數(shù),求駐點(diǎn),確定極值,計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值,比較大小”等,使問(wèn)題得解.本題含有參數(shù),因此,要注意根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)零情況,加以討論.
試題解析:(1)時(shí),
,當(dāng)時(shí),
故在上是增函數(shù)。
(2),
①當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/31/8/pj9hy1.png" style="vertical-align:middle;" />所以,,在上單調(diào)遞增,故;
②當(dāng)時(shí),由得,,單調(diào)遞減,,單調(diào)遞增,故;
③當(dāng)時(shí),∵∴,則在上單調(diào)遞減,
故
考點(diǎn):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)設(shè),,,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);
(Ⅱ)設(shè),若對(duì)任意,均有,求的取值范圍.
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已知函數(shù),,其中為常數(shù),,函數(shù)和的圖像在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線分別為、,且.
(1)求常數(shù)的值及、的方程;
(2)求證:對(duì)于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),有;
(3)若存在使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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設(shè)函數(shù).
(1)若時(shí),求處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
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已知函數(shù)
(Ⅰ)若試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若且對(duì)于任意恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)求證: .
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某校內(nèi)有一塊以為圓心,(為常數(shù),單位為米)為半徑的半圓形(如圖)荒地,該?倓(wù)處計(jì)劃對(duì)其開(kāi)發(fā)利用,其中弓形區(qū)域(陰影部分)用于種植學(xué)校觀賞植物,區(qū)域用于種植花卉出售,其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知種植學(xué)校觀賞植物的成本是每平方米20元,種植花卉的利潤(rùn)是每平方米80元,種植草皮的利潤(rùn)是每平方米30元.
(1)設(shè)(單位:弧度),用表示弓形的面積;
(2)如果該校總務(wù)處邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地,如何設(shè)計(jì)的大小才能使總利潤(rùn)最大?并求出該最大值.
(參考公式:扇形面積公式,表示扇形的弧長(zhǎng))
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設(shè)
(Ⅰ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),的極小值為,求的解析式。
(Ⅱ)若,是上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍
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已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為,且.
(Ⅰ)求常數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明:.
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已知函數(shù),,其中.
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若對(duì)任意的(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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