Question

【題目】給定函數(shù)，若對于定義域中的任意，都有恒成立，則稱函數(shù)為“爬坡函數(shù)”．

（1）證明：函數(shù)是爬坡函數(shù)；

（2）若函數(shù)是爬坡函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）若對任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)都不是爬坡函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）或（3）

【解析】

試題分析：（1）利用定義直接判斷f（x）-≥0恒成立即可；（2）由題意可知，4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立，利用換元思想，設(shè)=t，則t＞0，上式變?yōu)?/span>，分別討論對稱軸，求出函數(shù)的最小值即可；（3）由題意可知，對任意的實(shí)數(shù)b，存在x，使得，相當(dāng)于f（x）-x=0有兩不相等的實(shí)根，得出，即-b+1-4c＞0對任意的實(shí)數(shù)b恒成立，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知

試題解析：（1）∵，

∴f（x）≥x恒成立，即得函數(shù)f（x）=x2+1是爬坡函數(shù)；

（2）由題意可知，4x+m2x+1+x+2m2﹣4≥x恒成立，

∴4x+m2x+1+2m2﹣4≥0恒成立．

設(shè)2x=t，則t＞0，上式變?yōu)閠2+2mt+2m2﹣4≥0，

設(shè)g（t）=t2+2mt+2m2﹣4=（t+m）2+m2﹣4（t＞0）

①若﹣m＞0，則，解得m≤﹣2；

②若﹣m≤0，則g（0）=2m2﹣4≥0，解得；

綜上所述，m的取值范圍是m≤﹣2或；

（3）由題意，對任意的實(shí)數(shù)b，存在x，使得，

即，

故，即b2﹣b+1﹣4c＞0對任意的實(shí)數(shù)b恒成立，

∴，解得．