Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：曲線不存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線．

Answer 1

【答案】（1）時(shí)， 在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減； 時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）研究單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)數(shù)，接著研究的正負(fù)，按或分類可得結(jié)論；（2）否定性命題，可用反證法，即假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則，即，下面只要證明這個(gè)方程無(wú)實(shí)數(shù)解即可，這又要化簡(jiǎn)此方程，然后用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得結(jié)論．

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>， .

令，得，

當(dāng)，即時(shí)， ，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時(shí)，由解得

， ，且，

在區(qū)間及內(nèi)， ，在內(nèi)， ，

∴在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

（2）假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

則有，即，

化簡(jiǎn)得： （*）

記，則，

令，解得.

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴是的最小值，即當(dāng)時(shí)， .

由此說(shuō)明方程（*）無(wú)解，∴曲線沒(méi)有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線.