【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若,討論的單調(diào)性;

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn),使得直線的斜率成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí), 的減區(qū)間是,無(wú)增區(qū)間,當(dāng)時(shí), 的增區(qū)間是,減區(qū)間是,當(dāng)時(shí), 的增區(qū)間是,減區(qū)間是.

(Ⅱ)

【解析】試題分析:(Ⅰ)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分別確定其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間,(Ⅱ)先運(yùn)用斜率公式將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)及其單調(diào)性建立不等式進(jìn)行求解:

解:(Ⅰ) 的定義域?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí),

,

(。┤,即時(shí), 恒成立, 上是減函數(shù);

(ⅱ)若,即時(shí), 時(shí), 是增函數(shù),

時(shí), 是減函數(shù),

時(shí), , 是減函數(shù);

(ⅲ)若,即, 時(shí), 是增函數(shù),

時(shí), , 是減函數(shù),

時(shí), , 是減函數(shù);

綜上可得,當(dāng)時(shí), 的減區(qū)間是,無(wú)增區(qū)間,

當(dāng)時(shí), 的增區(qū)間是,減區(qū)間是,

當(dāng)時(shí), 的增區(qū)間是,減區(qū)間是.

(Ⅱ)假設(shè)的圖象上不存在兩點(diǎn),使得直線的斜率成立,

則對(duì)的圖象上任意兩點(diǎn),都有成立,

恒成立,即恒成立,

因?yàn)?/span>,所以

所以是減函數(shù), 恒成立,

因?yàn)?/span>,所以恒成立,

因?yàn)?/span>,所以.

即若對(duì)的圖象上任意兩點(diǎn),都有成立,則,

所以若的圖象上不存在兩點(diǎn),使得直線的斜率成立,

,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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公司根據(jù)以往的記錄,十臺(tái)打印機(jī)正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表:

消耗墨盒數(shù)

22

23

24

25

打印機(jī)臺(tái)數(shù)

1

4

4

1

以這十臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率,記ξ表示兩臺(tái)打印機(jī)5年消耗的墨盒數(shù).

(1)求ξ的分布列;

(2)若在購(gòu)買兩臺(tái)新機(jī)時(shí),每臺(tái)機(jī)隨機(jī)購(gòu)買23盒墨,求這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年在消耗墨盒上所需費(fèi)用的期望.

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