Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）或（2）當(dāng)，在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有根的問(wèn)題，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，以及的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，

所以方程有實(shí)數(shù)根.

所以，解得，或

因此，所求的取值范圍是，或.

（2）由題意可知的對(duì)稱軸為，

由（1）知：①當(dāng)時(shí)，，

故在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸,

故在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，故在區(qū)間恒成立，

故在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，=，則函數(shù)零點(diǎn)為，

故在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，且，

又因?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由零點(diǎn)存在定理得

函數(shù)在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)，且，即時(shí)，

在上有2個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)，且，即且

不存在此類情況.

綜上所述：

當(dāng)，在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，在上只有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn).