【題目】如圖所示,四棱錐中,平面,,,,為的中點.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)二面角為,,,求四棱錐的體積.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)取PC中點F,連接EF,BF,則可證四邊形為平行四邊形,∴,由線面平行的判定定理即可得證.
(2)設(shè),則,進而可表示出任意點的坐標(biāo)。由題意知平面,故平面的一個法向量為,又,,設(shè)平面的法向量,則其中一條法向量,結(jié)合二面角為,可求出,所以即可求出.
解:(1)證明:取中點,連,,則,
∵,
∴,
∴四邊形為平行四邊形
∴
∵平面,平面
∴平面.
(2)以為原點,,,分別為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
設(shè),則,,,,,,
∵,∴平面,故平面的一個法向量為
,,設(shè)平面的法向量,
由得.令得,
即
依題意,∴,解得
∴ .
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【題目】設(shè).
(1)若,且是實系數(shù)一元二次方程的一根,求和的值;
(2)若是純虛數(shù),已知時,取得最大值,求;
(3)肖同學(xué)和謝同學(xué)同時獨立地解答第(2)小題,己知兩人能正確解答該題的概率分別是0.8和0.9,求該題能被正確解答的概率.
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【題目】已知橢圓的四個頂點組成的四邊形的面積為,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的下頂點為,如圖所示,點為直線上的一個動點,過橢圓的右焦點的直線垂直于,且與交于兩點,與交于點,四邊形和的面積分別為.求的最大值.
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【題目】2018年11月15日,我市召開全市創(chuàng)建全國文明城市動員大會,會議向全市人民發(fā)出動員令,吹響了集結(jié)號.為了了解哪些人更關(guān)注此活動,某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15~75歲之間的100人進行調(diào)查,并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示,其分組區(qū)間為:,,,,,.把年齡落在和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”,經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為.
(1)求圖中的值,若以每個小區(qū)間的中點值代替該區(qū)間的平均值,估計這100人年齡的平均值;
(2)若“青少年人”中有15人關(guān)注此活動,根據(jù)已知條件完成題中的列聯(lián)表,根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果,問能否有的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動?
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計 | |
青少年人 | 15 | ||
中老年人 | |||
合計 | 50 | 50 | 100 |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
附參考公式:,其中.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程;
Ⅱ若直線與曲線C交于點不同于原點,與直線l交于點B,求的值.
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【題目】已知動圓過定點且與圓相切,記動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點且斜率不為零的直線交曲線于, 兩點,在軸上是否存在定點,使得直線的斜率之積為非零常數(shù)?若存在,求出定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】下列四個命題中真命題是
A. 同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B. 底面各邊相等,側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D. 過球面上任意兩點的大圓有且只有一個
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【題目】如圖所示,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱底面,且,是側(cè)棱上的動點.
(1)求四棱錐的體積;
(2)如果是的中點,求證:平面;
(3)不論點在側(cè)棱的任何位置,是否都有?證明你的結(jié)論.
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