Question

【題目】在四棱錐中，，，和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)在底面的射影為.

（1）求證：是中點(diǎn)；

（2）證明：；

（3）求點(diǎn)到面的距離.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析:（1）根據(jù)等邊三角形有，依題意有平面，故，由此可知為中點(diǎn).（2）由平面可得，而，即，故平面，故.（3）利用等體積法,利用（2）的結(jié)論，可求得兩個(gè)面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得點(diǎn)到面的距離.

試題解析：（1）證明：∵和都是等邊三角形，

∴，

又∵底面，

∴，

則點(diǎn)為的外心，又因?yàn)?/span>是直角三角形，

∴點(diǎn)為中點(diǎn).

（2）證明：由（1）知，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，

于是面，

∴，

∵在中，，，

∴，

又，∴，

從而即，

由，得面，

∴.

（3）∵，

∴是平行四邊形，

在中，∵，∴，

由（2）知：面，，

由，，

∴，

∴，

.

設(shè)點(diǎn)到面的距離為，由等體積法，

∴，

∴.

即點(diǎn)到面的距離為1.