【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)記函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為,且.已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減; (Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,求出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間即可; (Ⅱ)分離參數(shù)得: ,從而可得恒成立;再令,從而可得不等式上恒成立,再令,從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可.

試題解析:(Ⅰ)依題意,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

,

當(dāng)時(shí), 恒成立,故函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),令,得;令,得;

故函數(shù)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,

(Ⅱ)由(I)可知分別為方程的兩個(gè)根,即, ,

所以原式等價(jià)于.

因?yàn)?/span>, ,所以原式等價(jià)于,

又由, 作差得, ,即.

所以原式等價(jià)于.

因?yàn)?/span>,原式恒成立,即恒成立.

,則不等式上恒成立.

,則

當(dāng)時(shí),可見時(shí), ,所以上單調(diào)遞增,又恒成立,符合題意;

當(dāng)時(shí),可見當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

所以時(shí)單調(diào)遞增,在時(shí)單調(diào)遞減.

,所以上不能恒小于0,不符合題意,舍去.

綜上所述,若不等式恒成立,只須,又,所以.

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【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

1)求的取值范圍;

2)記兩個(gè)零點(diǎn)分別為,已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.

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現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min,在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos A=,cos C=

(1)求索道AB的長;

(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?

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