Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）方程在有兩個(gè)不同跟等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn),對進(jìn)行求導(dǎo)，通過單調(diào)性畫出的草圖，由與有兩個(gè)交點(diǎn)進(jìn)而得出的取值范圍; （Ⅱ）分離參數(shù)得： ,從而可得恒成立；再令,從而可得不等式在上恒成立，再令，從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可．

試題解析：（I）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

所以方程在有兩個(gè)不同跟等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn).

又，即當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ,

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

從而.

又有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在時(shí)， ，在時(shí)， ，

所以的草圖如下：

可見，要想函數(shù)與函數(shù)在圖像上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需.

（Ⅱ）由（I）可知分別為方程的兩個(gè)根，即， ，

所以原式等價(jià)于.

因?yàn)?/span>， ，所以原式等價(jià)于.

又由， 作差得， ，即.

所以原式等價(jià)于.

因?yàn)?/span>，原式恒成立，即恒成立.

令，則不等式在上恒成立.

令，則，

當(dāng)時(shí)，可見時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，又在恒成立，符合題意；

當(dāng)時(shí)，可見當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減.

又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以.