【題目】【2015江蘇高考,18】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】

試題分析(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可:一是離心率為,二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3,解方程組即得(2)因?yàn)橹本AB過(guò)F,所以求直線AB的方程就是確定其斜率,本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系,這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB長(zhǎng),再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo),利用兩直線交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長(zhǎng),利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程.

試題解析:(1)由題意,得

解得,,則,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)當(dāng)軸時(shí),,又,不合題意.

當(dāng)軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,,

的方程代入橢圓方程,得,

的坐標(biāo)為,且

,則線段的垂直平分線為軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.

從而,故直線的方程為,

點(diǎn)的坐標(biāo)為,從而

因?yàn)?/span>,所以,解得

此時(shí)直線方程為

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

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A.
B.
C.
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