已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時判斷的單調(diào)性;
(2)若在其定義域?yàn)樵龊瘮?shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),當(dāng)時,若,總有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)增函數(shù);(2);(3) .
解析試題分析:(1) 本小題首先求得函數(shù)的定義域,再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),發(fā)現(xiàn)其在恒大于零,于是可知函數(shù)在上單調(diào)遞增;(2) 本小題首先求得函數(shù)的定義域,再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),所以,,然后轉(zhuǎn)化為最值得求解;(3)本小題首先分析“,,總有成立”等價于 “在上的最大值不小于在上的最大值”,于是問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
試題解析:(1)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/5/1an5z3.png" style="vertical-align:middle;" />,且>0
所以f(x)為增函數(shù). 3分
(2),的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/5/1an5z3.png" style="vertical-align:middle;" />
5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5f/9/mfq5s.png" style="vertical-align:middle;" />在其定義域內(nèi)為增函數(shù),所以,
而,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以 9分
(3)當(dāng)時,,
由得或
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以在上, 11分
而“,,總有成立”等價于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值為
所以有
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 14分
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)公式與法則;2.函數(shù)的單調(diào)性;3.等價轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.
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已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)記函數(shù),若的最小值是,求函數(shù)的解析式.
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已知函數(shù),(且).
(1)設(shè),令,試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(2)若且的定義域和值域都是,求的最大值;
(3)若不等式對恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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已知函數(shù)
(1)若在是增函數(shù),求的取值范圍;
(2)已知,對于函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn),,其中,直線的斜率為,記,若求證:.
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已知函數(shù)f(x)=alnx+(a≠0)在(0,)內(nèi)有極值.
(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)若x1∈(0,),x2∈(2,+∞)且a∈[,2]時,求證:f(x2)﹣f(x1)≥ln2+.
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已知函數(shù)的圖象如圖,直線在原點(diǎn)處與函數(shù)圖象相切,且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為.
(1)求的解析式;
(2)若常數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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已知,函數(shù).
(1)當(dāng)時,寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最小值;
(3)設(shè),函數(shù)在(m,n)上既有最大值又有最小值,請分別求出m,n的取值范圍(用a表示).
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