Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E為A₁B₁的中點，則下列五個命題：
①點E到平面ABC₁D₁的距離為

1

2

；
②直線BC與平面ABC₁D₁所成的角為45°；
③空間四邊形ABCD₁在正方體六個面內(nèi)形成的六個射影平面圖形，其中面積最小值是

1

2

；
④AE與DC₁所成的角的余弦值為

3 10

10

；
⑤二面角A-BD₁-C的大小為

5π

6

．
其中真命題是______．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

①由于A₁B₁∥平面ABC₁D₁，
故B₁到平面ABC₁D₁的距離即點E到平面ABC₁D₁的距離，
連接B₁C交BC₁于F，則易得B₁F垂直于平面ABC₁D₁，
而B₁F=

2

2

，故點E到平面ABC₁D₁的距離為

2

2

，
故①錯；
②易得B₁C垂直于平面ABC₁D₁，
故∠CBC₁為直線BC與平面ABC₁D₁所成的角，
且為45°，故②正確；
③易得空間四邊形ABCD₁在正方體的面ABCD、
面A₁B₁C₁D₁內(nèi)的射影面積為1，在面BB₁C₁C內(nèi)、面AA₁D₁D內(nèi)的射影面積為

1

2

，在面ABB₁A₁內(nèi)、面CC₁D₁D內(nèi)的射影面積為

1

2

，故③正確；
④連接AB₁，則∠EAB₁為AE與DC₁所成的角，由余弦定理得，cos∠EAB₁=

2+ 5 4 - 1 4

2× 2 × 5 2

=

3 10

10

，故④正確；
⑤在直角三角形BAD₁中過A作AH垂直于BD₁，連接CH，易知CH垂直于BD₁，故∠AHC是二面角A-BD₁-C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC=

2 3 + 2 3 -2

2× 6 3 × 6 3

=-

1

2

，故∠AHC=

2π

3

，故⑤錯．
故答案為：②③④