Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD＝4，BD＝4，AB＝2CD＝8.

(1)設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；

(2)當M點位于線段PC什么位置時，PA∥平面MBD?

(3)求四棱錐P－ABCD的體積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）M點位于線段PC靠近C點的三等分點處時（3）24.

【解析】(1)證明：在△ABD中，

∵AD＝4，BD＝4，AB＝8，∴AD2＋BD2＝AB2.

∴AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD.

又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.

(2)當M點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，

PA∥平面MBD.

證明如下：連接AC，交BD于點N，連接MN.

∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是梯形．

∵AB＝2CD，

∴CN∶NA＝1∶2.

又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.

∵MN?平面MBD，PA?平面MBD，∴PA∥平面MBD.

(3)過點P作PO⊥AD交AD于O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.

即PO為四棱錐P－ABCD的高．

又△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO＝×4＝2.

在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為＝2，此即為梯形ABCD的高．

梯形ABCD的面積SABCD＝×2＝12.

四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝×12×2＝24.