【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+2,g(x)=x2﹣mx.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=0有兩個不同的實數(shù)根,求證:f(1)+g(1)<0;
(Ⅲ)若存在x0∈[ ,e]使得mf′(x)+g(x)≥2x+m成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=lnx+1, 令f′(x)>0,解得:x> ,令f′(x)<0,解得:0<x< ,
∴f(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增,
若t≥ ,則f(x)在[t,t+2]遞增,
∴f(x)min=f(t)=tlnt+2,
若0<t< ,則f(x)在[t, )遞減,在( ,t+2]遞增,
∴f(x)min=f( )=2﹣ ;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=0有兩個不同的實數(shù)根,
即m=lnx+x+ 有兩個不同的實數(shù)根,
令h(x)=lnx+x+ ,(x>0),
即函數(shù)y=m和h(x)=lnx+x+ 有兩個不同的交點,
而h′(x)= +1﹣ = ,
令h′(x)>0,解得:x>1,令h′(x)<0,解得:0<x<1,
故h(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
故h(x)≥h(1)=3,
故m>3,
故f(1)+g(1)=3﹣m<0;
(Ⅲ)若存在x0∈[ ,e]使得mf′(x)+g(x)≥2x+m成立,
即存在x0∈[ ,e]使得m≤ 成立,
令k(x)= ,x∈[ ,e],則k′(x)= ,
易得2lnx﹣x<0,
令k′(x)>0,解得:x>1,令k′(x)<0,解得:x<1,
故k(x)在[ ,1)遞減,在(1,e]遞增,
故k(x)的最大值是k( )或k(e),
而k( )= <k(e)= ,
故m≤ .
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過討論t的范圍,求出函數(shù)的最小值即可;(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為m=lnx+x+ 有兩個不同的實數(shù)根,令h(x)=lnx+x+ ,(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最小值,求出m的范圍,從而判斷f(1)+g(1)的符號即可;(Ⅲ)問題轉(zhuǎn)化為存在x0∈[ ,e]使得m≤ 成立,令k(x)= ,x∈[ ,e],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a2﹣a﹣2b﹣2c=0且a+2b﹣2c+3=0.則△ABC中最大角的度數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題為真命題的是( )
A.若 x>y>0,則 ln x+ln y>0
B.“φ= ”是“函數(shù) y=sin(2x+φ) 為偶函數(shù)”的充要條件
C.?x0∈(﹣∞,0),使 3x0<4x0成立
D.已知兩個平面α,β,若兩條異面直線m,n滿足m?α,n?β且 m∥β,n∥α,則α∥β
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中(如圖①),AB∥CD,AB⊥BC,G為AD上一點,且AB=AG=1,GD=CD=2,M為GC的中點,點P為邊BC上的點,且滿足BP=2PC.現(xiàn)沿GC折疊使平面GCD⊥平面ABCG(如圖②).
(1)求證:平面BGD⊥平面GCD:
(2)求直線PM與平面BGD所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+ )+m(m∈R),當(dāng)x∈[0, ]時,f(x)的最小值為﹣1.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)在△ABC中,已知f(C)=1,AC=4,延長AB至D,使BC=BD,且AD=5,求△ACD的面積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x﹣2cos2x﹣1,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最小值;
(Ⅱ)在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c= ,f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值.
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【題目】已知實數(shù) x∈[1,10],執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的x不大于63的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】數(shù)列{an}是公比為q(q>1)的等比數(shù)列,其前n項和為Sn . 已知S3=7,且3a2是a1+3與a3+4的等差數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(Ⅱ)設(shè)bn= ,cn=bn(bn+1﹣bn+2),求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
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【題目】集合M的若干個子集的集合稱為集合M的一個子集族.對于集合{1,2,3…n}的一個子集族D滿足如下條件:若A∈D,BA,則B∈D,則稱子集族D是“向下封閉”的. (Ⅰ)寫出一個含有集合{1,2}的“向下封閉”的子集族D并計算此時 的值(其中|A|表示集合A中元素的個數(shù),約定||=0; 表示對子集族D中所有成員A求和);
(Ⅱ)D是集合{1,2,3…n}的任一“向下封閉的”子集族,對A∈D,記k=max|A|, (其中max表示最大值),
(。┣骹(2);
(ⅱ)若k是偶數(shù),求f(k).
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