Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）設，若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（2）

【解析】

（1）求得函數(shù)的導函數(shù)為，再和兩種情況討論可得；

（2）若存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，令，，則，求出函數(shù)的導數(shù)，說明其單調性及最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；

解：（1）函數(shù)的定義域為，

且

當，即時，恒成立，故函數(shù)在上單調遞增；

當，即時，令，解得，故函數(shù)在上單調遞增；

令，解得，故函數(shù)在上單調遞減；

綜上所述，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）若存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，

令，，則，

當時，，在上恒成立，故函數(shù)在上單調遞增，，解得，所以；

當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，則

令，，恒成立，即函數(shù)，在上單調遞減，又故在上恒成立，即，故

當時，，在上恒成立，故函數(shù)在上單調遞減，，不符題意，舍去；

綜上可得