【題目】如圖,在三棱錐中,為正三角形,為棱的中點(diǎn),,,平面平面
(1)求證:平面平面;
(2)若是棱上一點(diǎn),與平面所成角的正弦值為,求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)先根據(jù)平面平面,得出,結(jié)合條件得出平面,從而可得.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合與平面所成角的正弦值為得出的坐標(biāo),然后利用法向量可求.
(1)因?yàn)?/span>為正三角形,為棱的中點(diǎn),所以,
又平面平面,且平面平面,
所以平面,
所以,又,且,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
(2)作中點(diǎn),連,由(1)及可知平面,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸,過(guò)且平行于的方向?yàn)?/span>軸,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),
則,
,
設(shè),則,,
設(shè)平面的法向量為,
因?yàn)?/span>與平面所成角的正弦值為,
所以,即,解得,
即為的中點(diǎn),則
設(shè)平面的法向量為,則
,即,
取.
設(shè)平面的法向量為,則,
則二面角的余弦值為,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為給定的不小于的正整數(shù),考察個(gè)不同的正整數(shù),,,構(gòu)成的集合,若集合的任何兩個(gè)不同的非空子集所含元素的總和均不相等,則稱集合為“差異集合”.
(1)分別判斷集合,集合是否是“差異集合”;(只需寫出結(jié)論)
(2)設(shè)集合是“差異集合”,記,求證:數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)設(shè)集合是“差異集合”,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將于11月19日至23日在福建省廈門市舉辦,近日首批影展片單揭曉,《南方車站的聚會(huì)》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達(dá)之謎》五部?jī)?yōu)秀作品將在電影節(jié)進(jìn)行展映.若從這五部作品中隨機(jī)選擇兩部放在展映的前兩位,則《春潮》與《抵達(dá)之謎》至少有一部被選中的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率,左、右焦點(diǎn)分別是、,且橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為,過(guò)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)以為直角時(shí),求直線的方程;
(3)直線的斜率存在且不為0時(shí),試問(wèn)軸上是否存在一點(diǎn)使得,若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年雙十一落下帷幕,天貓交易額定格在268(單位:十億元)人民幣(下同),再創(chuàng)新高,比去年218(十億元)多了50(十億元),這些數(shù)字的背后,除了是消費(fèi)者買買買的表現(xiàn),更是購(gòu)物車?yán)镏袊?guó)新消費(fèi)的奇跡,為了研究歷年銷售額的變化趨勢(shì),一機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數(shù)據(jù)(單位:十億元).繪制如下表1:
表1
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
銷售額 | 0.9 | 8.7 | 22.4 | 41 | 65 | 94 | 132.5 | 172.5 | 218 | 268 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,如圖所示.
把銷售超過(guò)100(十億元)的年份叫“暢銷年”,把銷售額超過(guò)200(十億元)的年份叫“狂歡年”,從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個(gè),求至少取到一個(gè)“狂歡年”的概率.
參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上,給出下列命題:
①若直線過(guò)點(diǎn),則存在使拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心;
②若直線過(guò)點(diǎn),則存在點(diǎn)使為直角三角形;
③存在,使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心;
④若邊的中線軸,,則的面積為.
其中正確的序號(hào)為______________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如下表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上三年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任交通死亡事故 | 上浮30% | |
某機(jī)構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了
類型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問(wèn)題:
(1)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定,,記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車,假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤(rùn)的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:,(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1,)且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為P,過(guò)定點(diǎn)(2,﹣1)的直線l:y=kx+m與橢圓C相交于異于點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn),若直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.
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