已知函數(shù)
的圖像過坐標原點
,且在點
處的切線斜率為
.
(1)求實數(shù)
的值;
(2) 求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值;
(Ⅲ)若函數(shù)
的圖像上存在兩點
,使得對于任意給定的正實數(shù)
都滿足
是以
為直角頂點的直角三角形,且三角形斜邊中點在
軸上,求點
的橫坐標的取值范圍.
試題分析:(1)求實數(shù)
的值求導數(shù),根據(jù)函數(shù)在點
處的切線的斜率是
,由導數(shù)的幾何意義,及當
時,
,對函數(shù)
求導數(shù)得,
,依題意
,可求出
,又因為圖象過坐標原點,則
,即可求得實數(shù)
的值;(2)求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值,當
時,
,對函數(shù)
求導函數(shù)
,令
,解出
的值,確定函數(shù)的單調(diào)性,計算導數(shù)等零點與端點的函數(shù)值,從而可得函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值;(Ⅲ)設(shè)
,因為
中點在
軸上,所以
,根據(jù)
,可得
,分類討論,確定函數(shù)的解析式,利用
,即可求得結(jié)論.
試題解析:(1)當
時,
,
依題意
,
又
故
3分
(2)當
時,
令
有
,故
在
單調(diào)遞減;在
單調(diào)遞增;
在
單調(diào)遞減.又
,
所以當
時,
6分
(Ⅲ)設(shè)
,因為
中點在
軸上,所以
又
①
(。┊
時,
,當
時,
.故①不成立 7分
(ⅱ)當
時,
代人①得:
,
無解 8分
(ⅲ)當
時,
代人①得:
②
設(shè)
,則
是增函數(shù).
的值域是
. 10分
所以對于任意給定的正實數(shù)
,②恒有解,故滿足條件.
(ⅳ)由
橫坐標的對稱性同理可得,當
時,
,代人①得:
③
設(shè)
,令
,則
由上面知
的值域是
的值域為
.
所以對于任意給定的正實數(shù)
,③恒有解,故滿足條件。 12分
綜上所述,滿足條件的點
的橫坐標的取值范圍為
14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(1)證明函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
(2)若不等式
對任意的
都成立,(其中
是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知
,函數(shù)
.
(Ⅰ)當
時,求
的最小值;
(Ⅱ)若
在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,其中a>0.
(Ⅰ)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若直線
是曲線
的切線,求實數(shù)a的值;
(Ⅲ)設(shè)
,求
在區(qū)間
上的最大值(其中e為自然對的底數(shù))。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
(原創(chuàng))若對定義在
上的可導函數(shù)
,恒有
,(其中
表示函數(shù)
的導函數(shù)
在
的值),則
( )
A.恒大于等于0 | B.恒小于0 |
C.恒大于0 | D.和0的大小關(guān)系不確定 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
f(
x)=
+ln
x,若函數(shù)
f(
x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則正實數(shù)
a的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
,則
( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若存在x使不等式
>
成立,則實數(shù)m的取值范圍為( )
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