【題目】已知過橢圓的四個頂點與坐標(biāo)軸垂直的四條直線圍成的矩形是第一象限內(nèi)的點)的面積為,且過橢圓的右焦點的傾斜角為的直線過點

1)求橢圓的標(biāo)準方程

2)若射線與橢圓的交點分別為.當(dāng)它們的斜率之積為時,試問的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明理由.

【答案】1;(2的面積為定值

【解析】

1)根據(jù)矩形面積、直線斜率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得,進而得到橢圓標(biāo)準方程;

2)當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)方程為,與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式,利用弦長公式求得,點到直線公式求得點到直線距離,進而表示出;根據(jù),代入韋達定理形式化簡可得,代入中化簡得到;當(dāng)直線斜率不存在時,可求得兩點坐標(biāo),進而求得;綜合兩種情況可知為定值.

1)由題意得:,,.

直線的斜率,

得:,橢圓的標(biāo)準方程為.

2的面積為定值,理由如下:

設(shè),

①當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)方程為.

得:

,即,

,

,

又點到直線的距離

.

,,

化簡可得:,滿足,

②當(dāng)直線斜率不存在時,

可設(shè),,

則點的坐標(biāo)分別為,,

此時

綜上所述:的面積為定值.

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