【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),求證:;

2)若不等式上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)求導(dǎo),從而得到函數(shù)的最大值,則不等式獲證;(2)先對函數(shù)求導(dǎo),再對參數(shù)分類討論,分別求得函數(shù)上的最大值,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為的最大值小于或等于0,即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

解:(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

設(shè),

,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以處取得最大值,

所以,

所以.

2)因?yàn)?/span>,所以.

①當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時(shí),,所以滿足題意.

②當(dāng)時(shí),令,則,

所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以處取得最大值.

當(dāng),即時(shí),上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí),,不符合題意.

當(dāng),即時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時(shí),.

設(shè),則.

當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí),,不滿足題意.

當(dāng),即時(shí),上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時(shí),,所以滿足題意.

綜上所述,的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
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