Question

【題目】已知函數（其中，，，是實數常數，）.

（1）若，函數的圖象關于點成中心對稱，求，的值；

（2）若函數滿足條件（1），且對任意，總有，求的取值范圍；

（3）若，函數是奇函數，，，且對任意時，不等式恒成立，求負實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）將化為，類比的圖象得對稱中心，對應相等可求得結果；（2）整理可得：；當時符合題意；時由單調性可知不合題意；當時，可知只需，從而得到的范圍；綜合三種情況得到結果；（3）根據奇偶性和函數值可得：，根據得到，根據單調性求解出的最小值，則根據求得結果.

（1）

類比函數的圖象，可知函數的圖象的對稱中心是

又函數的圖象的對稱中心

（2）由（1）知，

依據題意，對任意，恒有.

①當時，，符合題意

②當時，對任意，則

恒有，不符合題意；

③當時，函數在上是單調遞減函數，且滿足

因此，只需即可

解得：

綜上所述，實數的范圍

（3）依據題設：，解得：

于是

由，得，

因此

函數在是增函數

.

所求負實數的取值范圍