【題目】已知f(x)為一次函數(shù),g(x)為二次函數(shù),且f[g(x)]=g[f(x)].

(1)求f(x)的解析式;

(2)若y=g(x)與x軸及y=f(x)都相切,且g(0)= ,求g(x)的解析式.

【答案】(1);(2)

【解析】

(Ⅰ)設(shè)出f(x),g(x)的解析式,利用待定系數(shù)法求解.

(Ⅱ)根據(jù)y=g(x)與x軸及y=f(x)都相切,g(0)=,建立關(guān)系,利用判別式求解.

由題意,設(shè)f(x)=kx+m,g(x)=ax2+bx+c(a≠0)

∵f[g(x)]=g[f(x)].

∴k(ax2+bx+c)+m=a(kx+m)2+b(kx+m)+c,

解得:k=1,m=0

f(x)的解析式為f(x)=x

(Ⅱ)∵g(0)=,

∴c=

得g(x)=ax2+bx+

y=g(x)與x軸,相切,

可得:4ac=b2,即…①

y=g(x)與f(x)=x相切,

可得:ax2+bx+=x,即方程ax2+x(b﹣1)+=0只有一個解.

…②

①②解得:b=,a=1

故得g(x)的解析式為g(x)=x2+x+

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