Question

【題目】已知

（1）設(shè),，若函數(shù)存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）若是偶函數(shù)，求的值；

（3）在（2）條件下，設(shè)，若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由題意得方程有解，求出函數(shù)的值域即可得到所求的范圍；

（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義得，由此得到在R上恒成立，故得；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程只有一解求解，整理后結(jié)合分類(lèi)討論并根據(jù)方程根的分布的知識(shí)求解即可．

（1）令，得．

∵函數(shù)存在零點(diǎn)，

∴方程有解.

又，

易知在上是減函數(shù)，

又，，

所以，

所以的取值范圍是.

（2）方法1：

由題意得函數(shù)的定義域?yàn)镽．

∵函數(shù)為偶函數(shù)，

∴

∴

∴，

∴．

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，

∵

∴函數(shù)為偶函數(shù)，

∴．

方法2：

∵函數(shù)為偶函數(shù)，

∴，

∴，

∴，

∴在R上恒成立，

∴．

∴．

（3）∵與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程只有一解，

即只有一解，

又，

∴方程只有一解.

令，則關(guān)于t的方程有一正根，

∴方程有一正根，

（ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，解得，不合題意；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，

①若方程有兩相等正根，則，

解得

②若方程有兩不等實(shí)根且只有一個(gè)正根，

由于函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)，

故只需二次函數(shù)圖象，即拋物線的開(kāi)口向上，

∴

解得，

綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍．