【題目】已知函數(shù)f(x)= ,g(x)=﹣2xln(1+ )﹣lnf(x).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)?如果存在,求出該零點(diǎn);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f′(x)= = =
①a=0時(shí),f(′(x)=2× ,可得x∈(﹣∞,1)時(shí),f′(x)>0,x∈(1,+∞),f′(x)<0,
此時(shí)f(x)在(﹣∞,1)遞增,在(1,+∞)遞減.
②a>0時(shí),令f′(x)=0,x=1或x=﹣ ,可得x∈(﹣ ,1)時(shí),f′(x)>0,x∈(1,+∞)∪(﹣∞,﹣ ),f′(x)<0,
此時(shí)f(x)在(﹣ ,1)遞增,在(﹣ ),(1,+∞)遞減.
③a<0時(shí),令f′(x)=0,x=1或x=﹣ ,
0>a>﹣2時(shí),﹣ ,此時(shí)f(x)在(﹣∞,1),(﹣ )遞增,在(1,﹣ )遞減.
a<﹣2時(shí),1 ,此時(shí)f(x)在(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)遞增,在(﹣ ,1)遞減.
a=﹣2時(shí).此時(shí)f(x)在(﹣∞,+∞)遞增.
(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn),理由如下:
a=0時(shí),函數(shù)g(x)=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln(x+1)+2xlnx﹣ln ,(x> ).
函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)函數(shù)G(x)=﹣2xln(x+1)+2xlnx與R(x)=ln ,(x> )是否有交點(diǎn).
一方面:由(Ⅰ)知y= 在(﹣∞,1)遞增,在(1,+∞)遞減,可得R(x)=ln ,(x> )在( ,1)遞增,在(1,+∞)遞減
且x→ ,R(x)→﹣∞,x→+∞,R(x)→﹣∞,R(1)=﹣2<0
另一方面:G′(x)=2[lnx﹣ln(x+1)+ ],G″(x)=2[ ﹣ ]>0在( )恒成立.
∴G′(x)在( )遞增,而G′( )=2(﹣ln3+ )<0,x→+∞時(shí),G(x)→0,∴G′(x)<0.
∴函數(shù)G(x)在( )遞減,G( )=﹣ln3<0.
由此可以在同一坐標(biāo)系畫(huà)出兩函數(shù),如下:
結(jié)合圖象可得,當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)
【解析】(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f′(x)= ,分①a=0,②a>0,③a<0討論其單調(diào)性.(Ⅱ)a=0時(shí),函數(shù)g(x)=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln(x+1)+2xlnx﹣ln (x> ),函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)函數(shù)G(x)=﹣2xln(x+1)+2xlnx與R(x)=ln ,(x> )是否有交點(diǎn).分別討論兩函數(shù)的單調(diào)性,畫(huà)出圖象,結(jié)合圖象求解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 左、右頂點(diǎn)分別為A,B.以F1F2為直徑的圓O過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)D,直線DB與圓O相交得到的弦長(zhǎng)為 .設(shè)點(diǎn)P(a,t)(t≠0),連接PA交橢圓于點(diǎn)C,坐標(biāo)原點(diǎn)為O.
(I)求橢圓E的方程;
(II)若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積,求|t|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) .
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值;
(2)討論關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是( )
A.(4,2018)
B.(4,2020)
C.(3,2020)
D.(2,2020)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)形狀大小完全相同的小球.
(1)從盒中任取兩球,求取出的球的編號(hào)之和大于5的概率.
(2)從盒中任取一球,記下該球的編號(hào),將球放回,再?gòu)暮兄腥稳∫磺,記下該球的編?hào),求的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足csinA=acosC
(1)求角C大小;
(2)求 sinA﹣cos(B+ )的最大值,并求取得最大值時(shí)角A,B的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的三條對(duì)邊,且c2=a2+b2﹣ab.
(Ⅰ)求角C的大。
(Ⅱ)求cosA+cosB的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,頂角D1在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)C.
(1)求證:AD1⊥BC;
(2)若直線DD1與直線AB所成角為 ,求平面ABC1D1與平面ABCD所成角(銳角)的余弦值函數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高.原理的意思是:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體,被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截,若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi),若函數(shù)f(x)= 的圖象與x軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域A,將區(qū)域A沿z軸的正方向平移4個(gè)單位,得到幾何體如圖一,現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二,其底面積與區(qū)域A的面積相等,則此圓柱的體積為 .
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