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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,,動點滿足直線MP與直線NP的斜率之積為.記動點P的軌跡為曲線C.

1)求曲線C的方程,并說明C是什么曲線;

2)過點作直線與曲線C交于不同的兩點A,B,試問在x軸上是否存在定點Q,使得直線QA與直線QB恰好關于x軸對稱?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1,C為中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓,不含左右頂點;(2)存在,

【解析】

(1)寫出斜率,根據斜率之積為建立方程,化簡即可;

(2)設直線的方程為,與橢圓C的方程聯(lián)立整理得,設,定點(依題意.由根與系數的關系可得,,,由直線與直線恰好關于x軸對稱,則直線與直線的斜率互為相反數,代入可得.

1)由題設可得,,則,化簡得. ,

所以C為中心在坐標原點,焦點在X軸上的橢圓,不含左右頂點.

2)存在定點,滿足直線QA與直線QB恰好關于x軸對稱,

由題設知,直線l的斜率不為0,設直線的方程為,

與橢圓C的方程聯(lián)立整理得,設,,定點(依題意.

由根與系數的關系可得,

直線與直線恰好關于x軸對稱,則直線與直線的斜率互為相反數,

所以,即.

,,所以整理得.

從而可得即,

所以當,即時,直線與直線恰好關于x軸對稱

所以,在軸上存在點,滿足直線與直線恰好關于x軸對稱

練習冊系列答案
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(Ⅰ)求證: ;

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