Question

【題目】已知△SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∠ACB＝45°，當(dāng)三棱錐S﹣ABC體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（　�。�

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

作出圖形，由平面CAB與平面SAB垂直且CA＝CB時(shí)，三棱S﹣ABC的體積最大，并過(guò)兩個(gè)三角形的外心作所在三角形面的垂線(xiàn)，兩垂直交于點(diǎn)O，利用幾何關(guān)系計(jì)算出球O的半徑，然后利用球體表面積公式可得出答案．

由題可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA＝CB時(shí)，三棱錐S﹣ABC體積達(dá)到最大，如圖所示，

則點(diǎn)D，點(diǎn)E分別為△ASB，△ACB的外心，并過(guò)兩個(gè)三角形的外心作所在三角形面的垂線(xiàn)，兩垂直交于點(diǎn)O．

∴點(diǎn)O是此三棱錐外接球的球心，AO即為球的半徑．

在△ACB中，AB＝2，∠ACB＝45°∠AEB＝90°，由正弦定理可知，2AE，∴AE＝EB＝EC，

延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，則F為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D在直線(xiàn)SF上，

∴四邊形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，則有OE⊥AE，

又∵OE＝DFSFAB，

∴OA．

∴S球表面積＝4πR2＝4π×（ ）2．

故選：B．