如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.E是CC1的中點(diǎn),
(1)求銳二面角D-B1E-B的余弦值.
(2)試判斷AC與面DB1E的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)設(shè)M是棱AB上一點(diǎn),若M到面DB1E的距離為
21
7
,試確定點(diǎn)M的位置.
建如圖的立空間坐標(biāo)系可得:D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),C1(0,2,1),B1(1,2,1),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得E(0,2,
1
2
),
(1)設(shè)面DB1E的法向量是
n1
=(x,y,z)
,又
DE
=(0,2,
1
2
),
DB1
=(1,2,1),由
n1
DE
=0
n1
DB1
=0
2y+
1
2
z=0
x+2y+z=0
,令y=1,得x=2,z=-4
故有
n1
=(2,1,-4)
,同理可求得面BB1E的法向量為
n2
=(0,1,0)
,故兩平面所成的稅二面角的余弦cosθ=|
n1
n2
|
n1
||
n2
|
|=
1
21

(2)由題意,AC的方向向量的坐標(biāo)是
AC
=(-1,2,0),又面DB1E的法向量
n1
=(2,1,-4)
,由于
AC
n1
=-2+2=0,故
AC
n1
,又AC不在面DB1E內(nèi),故AC與面DB1E的位置關(guān)系是平行.
(3)M是棱AB上一點(diǎn),
設(shè)M(1,x,0),則
MD
=(-1,-X,0),
由(1)面DB1E的法向量
n1
=(2,1,-4)
,M到面DB1E的距離即向量
MD
在DB1E的法向量
n1
上的投影長(zhǎng)度,
故有d=|
n1
MD
|
n1
|
|=|
-2-X
21
=|
21
7
|即得|2+x|=3解得x=1,或x=-1(由圖知,此結(jié)論舍),
故M是AB的中點(diǎn)時(shí),符合題意.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知△ABC是邊長(zhǎng)為l的等邊三角形,D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),AD = AE,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將△ABF沿AF折起,得到三棱錐A-BCF,其中
(1)證明:DE∥平面BCF;
(2)證明:CF⊥平面ABF;
(3)當(dāng)時(shí),求三棱錐F-DEG的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖所示,正四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為
6
2

(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大;
(2)若E是PB的中點(diǎn),求異面直線PD與AE所成角的正切值;
(3)問(wèn)在棱AD上是否存在一點(diǎn)F,使EF⊥側(cè)面PBC,若存在,試確定點(diǎn)F的位置;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐中,底面ABCD是菱形,SA=SD=
39
,AD=2
3
,且S-AD-B大小為120°,∠DAB=60°.
(1)求異面直線SA與BD所成角的正切值;
(2)求證:二面角A-SD-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,ABCD和ABEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形,AM=FN,現(xiàn)將兩個(gè)正方形沿AB折成一個(gè)直二面角,O∈AB,平面MON平面CBE.

(1)求角MON大;
(2)設(shè)AO=x,當(dāng)x為何值時(shí),三棱錐A-MON的體積V最大?并求出最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M是A1B的中點(diǎn).
(Ⅰ)在線段B1C1上是否存在一點(diǎn)N,使得MN⊥平面A1BC?若存在,找出點(diǎn)N的位置幷證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求平面A1AB和平面A1BC所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等,且AB=AC=
3
,BC=2,則以BC為棱,以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為( 。
A.
3
3
B.
1
3
C.0D.-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AM面SCD;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,又知BA1⊥AC1
(1)求證:AC1⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1-BC-A的大。
(3)求CC1到平面A1AB的距離.

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同步練習(xí)冊(cè)答案