如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．
（Ⅰ）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
則
AM
=（0，1，1），
SD
=（1，0，-2），
CD
=（-1，-2，0）．
設(shè)平面SCD的法向量是
n
=（x，y，z），則
x-2z=0
-x-2y=0

令z=1，則x=2，y=-1．于是
n
=（2，-1，1）．
∵
n
•
AM
=0-1×1+1×1=0，∴
AM
⊥
n
．
又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為
n1
=（1，0，0）．
設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
則|cosα|=|
n
•
n1
|
n
||
n1
|
|=
2
1×
6
=
6
3

∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為
6
3
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且∠ABC=120°，M為BC的中點(diǎn)．將此菱形沿對角線BD折成二面角A-BD-C．
（ I）求證：面AOC⊥面BCD；
（ II）若二面角A-BD-C為60°時，求直線AM與面AOC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如果正三棱錐的側(cè)面均為直角三角形，側(cè)面與底面所成的角為α，則α的值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2．E是CC1的中點(diǎn)，
（1）求銳二面角D-B1E-B的余弦值．
（2）試判斷AC與面DB1E的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）設(shè)M是棱AB上一點(diǎn)，若M到面DB1E的距離為
21
7
，試確定點(diǎn)M的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知二面角α-l-β的大小為60°，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A-DC-B．

（1）試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直二面角α-l-β的棱l上有一點(diǎn)A，在平面α，β內(nèi)各有一條射線AB，AC與l成45°，AB?α，AC?β，則∠BAC=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱長都相等，側(cè)棱與底面垂直，M是側(cè)棱BB′的中點(diǎn)，則二面角M-AC-B的大小為（　�。�
A．30°B．45°C．60°D．75°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在正方體ABCD—A1B1C1D1各個表面的對角線中，與直線異面的有__________條

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同步練習(xí)冊答案