Question

如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為

6

2

．
（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大��；
（2）若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；
（3）問在棱AD上是否存在一點F，使EF⊥側(cè)面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）取AD中點M，設(shè)PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，tan∠PAO=

6

2

，
設(shè)AB=a，AO=

2

2

a，PO=AO•tan∠POA=

3

2

a，tan∠PMO=

PO

MO

=

3

∴∠PMO=60°．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．

AO⊥BD AO⊥PO ⇒AO⊥平面PBD OE?平面PBD

⇒AO⊥OE．
∵OE=

1

2

PD=

1

2

PO2+DO2

=

5

4

a
∴tan∠AEO=

AO

EO

=

2 10

5

（3）延長莫MO交BC于N，取PN中點G，連EG、MG．

BC⊥MN BC⊥PN

⇒BC⊥平面PMN⇒平面PMN⊥平面PBC．
又

PM=PN ∠PMN=60° ⇒△PMN為正△⇒MG⊥PN 平面PMN∩平面PBC=PN

⇒MG⊥平面PBC
取AM中點F，∵EG∥MF∴MF=

1

2

MA=EG
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F為四等分點