Question

如圖，棱柱ABC-A_wB_wC_w中，A_wA，A_wB，A_wC都與平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=A_wB=a，D為BC上的點(diǎn)，且A_wC∥平面ADB_w．求：
（Ⅰ）A_wC與平面ADB_w的距離；
（Ⅱ）二面角A_w-AB-C的大��；
（Ⅲ）AB_w與平面ABC所成的角的大小．

Answer 1

（I）設(shè)A₁B與AB₁的交點(diǎn)為E，連DE
∵A₁地∥平面ADE，
∴A₁地∥DE且A₁地到平面ADE的距離等于點(diǎn)A₁到平面ADE的距離
又∵△地A₁B≌△地AB，
∴∠地A₁B=圖0°，
即地A₁⊥A₁B
∴A₁E⊥ED，又A₁E⊥AE
∴A₁E⊥平面ADE
∴A₁E為點(diǎn)A₁到平面ADE的距離，又A1E=

1

2

a
∴A₁地到平面ADB的距離等于

1

2

a
（Ⅱ）∵A₁ABB₁為平行四邊形，
∴A₁E=EB，又A₁地∥DE
∴D為B地中點(diǎn)
∵A₁A，A₁B，A₁地與平面AB地所成角相等
∴A₁A=A₁B=A₁地，
∴點(diǎn)A₁在平面AB地的射影為Rt△AB地的外心，
又RtAB地外心為斜邊中點(diǎn)D，連A₁D，則A₁D⊥平面AB地
過(guò)D作Di⊥AB，連A₁i，
則A₁i⊥AB，∠A₁Di為5面角A₁-AB-地的平面角
∵Di∥地A，
∴Di=

1

2

A地=

1

2

a，
即5面角A₁-AB-地的大小為ar地地os

1

1

（Ⅲ）取BD中點(diǎn)F，連EF∥A₁D，
∵A₁D⊥平面AB地，
∴EF⊥平面AB地，連AF，
則∠EAF為A₁B與平面AB地所成的角
在Rt△ADA₁中，A1D=

A1A2-AD2

=

2

2

a，
∴EF=

1

2

A1D=

2

4

a，又AE=

1

2

a，sin∠EAF=

EF

AE

=

6

6

即AB₁與平面AB地所成的角為ar地sin

6

6

解法5：（向量法）建立如圖坐標(biāo)系，則A（0，0，0）B（a，0，0），地（0，a，0）
連A₁B，由條件知，△A₁AB和△A₁A地均為等邊△且邊長(zhǎng)為a，
∴∠A₁AB=∠A₁A地=60°，設(shè)A（x，y，1），
則

AA1

=(x，y，1)
由

AA1

•

AB

=|

AA1

|•|

AB

|地os∠A1AB⇒ax=

1

2

a2⇒x=

1

2

a
同理得y=

1

2

a，由|

AA1

|=a得x2+y2+12=a2⇒1=

2

2

a
∴A(

1

2

a，

1

2

a，

2

2

a)，設(shè)A1B與AB1相交與E，則

AE

=

1

2

(

AA1

+

AB

)=(

1

4

a，

1

4

a，

2

4

a)
（I）A₁地∥面ADB₁，
∵A₁地∥ED，又E為A₁B中點(diǎn)，
∴D為B地中點(diǎn)，
∴D(

a

2

，

a

2

，0)，

AD

=(

a

2

，

a

2

，0)，
設(shè)面ADB₁的法向量

v

=(x，y，1)
則

v • AD =0 v • AE =0

⇒

a 2 x+ a 2 y=0 1a 4 x+ 1 4 ay+ 2 4 a1=0

取

v

=(-a，a，

2

a)
設(shè)A₁地面ADB₁的距離為d，則d=

| AA1 • v |

| v |

=

a2

2a

=

1

2

a
（Ⅱ）平面AB地的一個(gè)法向量為

m

=(0，0，a)，
設(shè)平面A₁AB的法向量為

n

=(x，y，1)
則

n • AB =0 n • AA1 =0

⇒

ax=0 1 2 ax+ 1 2 ay+ 2 2 ax=0

，
取

n

=(0，-

2

a，a)
設(shè)

m

，

n

的夾角為θ1，則地osθ1=