Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

（Ⅰ）由題意知，
所以．即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135335754480.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，．
故橢圓的方程為．…………………………………………4分
（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．
由 得．      ①
…………………………………………6分
設(shè)點(diǎn)，，則．
直線的方程為．
令，得．
將，代入，
整理，得．                  ②
由①得 ，代入②
整理，得．
所以直線與軸相交于定點(diǎn)．……………………………………9分
（Ⅲ）當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，且
，在橢圓上．
由 得．  
易知．
所以，，．
則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135336410386.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．
所以．
當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為．
解得，．
此時(shí)．
所以的取值范圍是．……………………………………13分