Question

【題目】已知.

（Ⅰ）當時,判斷的奇偶性,并說明理由；

（Ⅱ）當時,若,求的值；

（Ⅲ）若,且對任何不等式恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）既不是奇函數,也不是偶函數；（Ⅱ）或；（Ⅲ）當時,的取值范圍是；當時,的取值范圍是；當時,的取值范圍是.

【解析】

試題（Ⅰ）對函數奇偶性的判斷，一定要結合函數特征先作大致判斷，然后再根據奇函數偶函數的定義作嚴格的證明.當時,，從解析式可以看出它既不是奇函數,也不是偶函數.對既不是奇函數,也不是偶函數的函數，一般取兩個特殊值說明.

（Ⅱ）當時,, 由得，這是一個含有絕對值符號的不等式，對這種不等式，一般先分情況去絕對值符號.這又是一個含有指數式的不等式，對這種不等式，一般將指數式看作一個整體，先求出指數式的值，然后再利用指數式求出的值.

（Ⅲ）不等式恒成立的問題，一般有以下兩種考慮，一是分離參數，二是直接求最值.在本題中，分離參數比較容易.分離參數時需要除以，故首先考慮的情況. 易得時,取任意實數,不等式恒成立.

,此時原不等式變?yōu)?/span>；即，這時應滿足：，所以接下來就求的最大值和的最小值.在求這個最大值和最小值時，因數還有一個參數，所以又需要對進行討論.

試題解析：（Ⅰ）當時,既不是奇函數也不是偶函數

∵,∴

所以既不是奇函數,也不是偶函數 3分

（Ⅱ）當時,, 由得

即或

解得

所以或8分

（Ⅲ）當時,取任意實數,不等式恒成立,

故只需考慮,此時原不等式變?yōu)?/span>；即

故

又函數在上單調遞增,所以;

對于函數

①當時,在上單調遞減,,又,

所以,此時的取值范圍是

②當,在上,,

當時,,此時要使存在,

必須有即,此時的取值范圍是

綜上,當時,的取值范圍是;

當時,的取值范圍是;

當時,的取值范圍是13分