Question

【題目】如圖所示,已知點是拋物線上一定點,直線的傾斜角互補,且與拋物線另交于，兩個不同的點．

(1)求點到其準線的距離；

(2)求證：直線的斜率為定值．

Answer 1

【答案】(1)5；(2)

【解析】

（1）把點M的坐標代入拋物線的方程，求出點M的坐標，然后根據(jù)拋物線的定義求出點到其準線的距離；

（2）設出直線MA的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得出A 的縱坐標，同理得出B的縱坐標，由已知條件結合點差法推導出AB的斜率表達式，把A，B的坐標代入，由此能證明直線AB的斜率為定值．

（1）∵M（a，4）是拋物線y2＝4x上一定點，∴42＝4a，a＝4，

∵拋物線y2＝4x的準線方程為x＝﹣1，故點M到其準線的距離為5；

（2）由題知直線MA、MB的斜率存在且不為0，設直線MA的方程為：y﹣4＝k（x﹣4）；

聯(lián)立，設，，

，即，

∵直線的斜率互為相反數(shù)，∴直線MB的方程為：，

同理可得：，由A，B兩點都在拋物線y2＝4x上，∴ ，，

，

∴直線AB的斜率為定值.