【題目】,表示不是的因數(shù)的最小自然數(shù),例如.,又可作等等.如果,那么叫做的長度.對一切,,用列舉法表示的長度構成的集合是______.

【答案】

【解析】

的長度為Ln.

很明顯,若奇數(shù)n≥3,那么f(n)=2,因此只須討論n為偶數(shù)的情況,

我們首先證明,對任何n≥3,f(n)=ps,這里P是素數(shù),s為正整數(shù).

假若不然,若f(n)有兩個不同的素因子,這時總可以將f(n)表為f(n)=ab,其中a、b是大于1的互素的正整數(shù).

f的定義知,ab都應能整除n,因(a,b)=1,故ab也應整除n,這與f(n)=ab矛盾.

所以f(n)=ps

由此可以得出以下結論:

(1)n為大于1的奇數(shù)時,f(n)=2,故Ln=1;

(2)n為大于2的偶數(shù),如果f(n)=奇數(shù),那么f(f(n))=2,這時Ln=2;

如果f(n)=2s,其中自然數(shù)s≥2,那么f(f(n))=f(2s)=3,從而f(f(f(n)))=f(3)=2,這時Ln=3.

綜上可得用列舉法表示的長度構成的集合是.

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