Question

【題目】如圖甲所示，是梯形的高，，，，先將梯形沿折起如圖乙所示的四棱錐，使得.

（1）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由;

（2）點是線段上一動點，當直線與所成的角最小時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在點，使得平面，此時,詳見解析（2）

【解析】

（1）過作交于，作交于，連接，易得平面，平面，從而得到平面平面，所以得到平面，而此時根據(jù)幾何關系可以得到；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，，表示出與所成角為的余弦值，并求出最小時的值，從而得到各點坐標，再求出平面和平面的法向量，根據(jù)兩個法向量之間的夾角公式，求得答案.

解:（1）存在點，使得平面，此時，理由如下:

依題，，，，

即，

所以，

因為，平面，平面，

所以平面，

所以，所以，

過作交于，作交于，連接，

因為，，

所以，

所以，

而，所以有

，平面，平面，

所以平面

，平面，平面，

所以平面

平面，，

所以平面平面，

而平面

所以平面.

故存在點，使得平面，此時

（2）以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.

，，，，

設，

即，所以，

，

設直線與所成角為

則

令，則，

令，則，，

當時，取最大值，

此時直線與所成的角最小.此時.

所以，又因為，，

所以，，

設平面法向量分別為

則，即

取得平面的法向量為，

設平面法向量為

則，即

取得平面法向量為

所以，

由圖可知，二面角為鈍二面角，則其余弦值為.