Question

【題目】已知為常數(shù)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的，且，，證明：關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)根.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)因式分解后，對(duì)分類討論，從而得出不等式的解集.（2）當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸、判別式，以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值分類討論，列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.（3）當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，通過計(jì)算，利用零點(diǎn)的存在性定理可證得方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)根.

（1）

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

(2)

因?yàn)?/span>所以

因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)時(shí)，解得符合題意

當(dāng)時(shí)，解得符合題意

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）設(shè)，則

，

，

因?yàn)?/span>，所以，

又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，由零點(diǎn)的的判定定理可得：在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根.