【題目】已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,f(x)<0, f(1)=-2.
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性
(3)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
【答案】(1) 見解析;(2)見解析;(3) 函數(shù)有最大值6,有最小值-6.
【解析】
(1)根據(jù)任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),利用賦值法構(gòu)造奇偶性判斷的定義即可證明;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證法得到結(jié)果即可;(3)根據(jù)已知條件,利用賦值法得到函數(shù)的端點值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到最值.
(1)因為,所以,所以,
而,因此,
所以 ,所以函數(shù)是奇函數(shù);
(2)設(shè),由,知,
因為,所以,又當(dāng)時,,
所以,所以,所以,
(3)函數(shù)是定義域上的減函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)有最值,
當(dāng)時,函數(shù)有最大值,當(dāng)時,函數(shù)有最大值,
,
,
所以當(dāng)時,函數(shù)有最大值6,當(dāng)時,函數(shù)有所有最小值-6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知α,β是兩個不同的平面,m,n分別是平面α與平面β之外的兩條不同直線,給出四個論斷:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題:____.(用序號表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲,乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相同,所得次品數(shù)分別為,,和的分布列如下表.
()分別求期望和.
()試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2x的定義域是[2,16].設(shè)g(x)=f(2x)﹣[f(x)]2.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式及定義域;
(2)求函數(shù)g(x)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為常數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,求關(guān)于的不等式的解集;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)在上存在零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,對于給定的,且,,證明:關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有一個實根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當(dāng)20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=(﹣x2+ax﹣3)ex(a為實數(shù)).
(1)當(dāng)a=4時,求函數(shù)y=g(x)在x=0處的切線方程;
(2)求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)如果關(guān)于x的方程g(x)=2exf(x)在區(qū)間[ ,e]上有兩個不等實根,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1、F2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦點,若在雙曲線的右支上存在一點M,使得( + ) =0(其中O為坐標(biāo)原點),且| |= | |,則雙曲線離心率為 .
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