【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.
(1)求與的解析式;
(2)若定義在實(shí)數(shù)集上的以2為最小正周期的周期函數(shù),當(dāng)時(shí),,試求在閉區(qū)間上的表達(dá)式,并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減;
(3)設(shè)(其中為常數(shù)),若對于恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1),(2);證明見解析(3)
【解析】
(1)根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)定義,可分別代入得關(guān)于與的方程組,解方程組即可求得與的解析式;
(2)由為以2為最小正周期的周期函數(shù),所以當(dāng)時(shí),即可根據(jù)求得求在閉區(qū)間上的表達(dá)式.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,任取,即可通過作差法證明函數(shù)的單調(diào)性.
(3)利用換元法,令,由可求得的取值范圍.則.由可知當(dāng)時(shí)滿足,因而可知恒成立.分離參數(shù)可知,結(jié)合基本不等式即可求得的取值范圍.
(1)由①,
因?yàn)?/span>是偶函數(shù),是奇函數(shù)
所以有,即②
∵,定義在實(shí)數(shù)集上
由①和②解得,
(2)是上以2為正周期的周期函數(shù)
所以當(dāng)時(shí),
即在閉區(qū)間上的表達(dá)式為
下面證明在閉區(qū)間上遞減:
,當(dāng)且僅當(dāng)
即時(shí)等號成立.對于任意
因?yàn)?/span>,所以,,,,
從而,所以當(dāng)時(shí),遞減
(3)∵在單調(diào)遞增
∴
∴對于恒成立
∴對于恒成立
令,則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,且
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴
∴為的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線E:的焦點(diǎn)重合,斜率為k的直線l交拋物線E于A、B兩點(diǎn),交橢圓于C、D兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)直線l經(jīng)過點(diǎn),設(shè)點(diǎn),且的面積為,求k的值;
(3)若直線l過點(diǎn),設(shè)直線,的斜率分別為,,且,,成等差數(shù)列,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列,,滿足:對任意的,都有=,=,=.記=(表示個(gè)實(shí)數(shù),,中的最大值).
(1)若=,=,=,求,,的值;
(2)若=,=,求滿足=的的所有值;
(3)設(shè),,是非零整數(shù),且,,互不相等,證明:存在正整數(shù),使得數(shù)列,,中有且只有一個(gè)數(shù)列自第項(xiàng)起各項(xiàng)均為.
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【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.
(1)求與的解析式;
(2)若定義在實(shí)數(shù)集上的以2為最小正周期的周期函數(shù),當(dāng)時(shí),,試求在閉區(qū)間上的表達(dá)式,并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減;
(3)設(shè)(其中為常數(shù)),若對于恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線和直線的斜率都存在且分別為和,求證:;
(2)若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率為,求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積.
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【題目】(本小題滿分13分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,角的頂點(diǎn)是原點(diǎn),始邊與軸正半軸重合.終邊交單位圓于點(diǎn),且,將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),交單位圓于點(diǎn),記.
(1)若,求;
(2)分別過作軸的垂線,垂足依次為,記的面積為,的面積為,若,求角的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)國家號召,打贏脫貧致富攻堅(jiān)戰(zhàn),武漢大學(xué)團(tuán)隊(duì)帶領(lǐng)湖北省大悟縣新城鎮(zhèn)熊灣村村民建立有機(jī)、健康、高端、綠色的蔬菜基地,并策劃“生產(chǎn)、運(yùn)輸、銷售”一體化的直銷供應(yīng)模式,據(jù)統(tǒng)計(jì),當(dāng)?shù)卮迕駜赡陼r(shí)間成功脫貧.蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價(jià)格銷售到生鮮超市,每份15元的價(jià)格賣給顧客,如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完,則超市通過促銷以每份5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價(jià)處理完畢,且處理完畢后,當(dāng)天不再進(jìn)貨).該生鮮超市統(tǒng)計(jì)了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位:份),制成如下表格(注:,且).若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率,該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù),若購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大,則x的最小值是________.
前8小時(shí)內(nèi)銷售量 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
頻數(shù) | 10 | x | 16 | 16 | 15 | 13 | y |
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