【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線和直線的斜率都存在且分別為和,求證:;
(2)若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率為,求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)法一:設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立,利用中點(diǎn)坐標(biāo)表示,再求;法二:利用點(diǎn)差法表示;
(2)先由已知求得雙曲線方程和直線的方程,由條件表示四邊形的面積;令解,利用的中點(diǎn)是,直接求點(diǎn)的坐標(biāo),再表示四邊形的面積.
(1)證明:法1:設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,代入雙曲線方程得:.
設(shè)坐標(biāo)為,坐標(biāo)為,中點(diǎn)坐標(biāo)為,則,,
,,所以,,.
法2:設(shè)、,中點(diǎn),則,且,
(1)﹣(2)得:.
因?yàn),直線和直線的斜率都存在,所以,
等式兩邊同除以,得:,即.
(2)由已知得,求得雙曲線方程為,直線斜率為,
直線方程為,代入雙曲線方程可解得,中點(diǎn)坐標(biāo)為.
面積.
另解:線段中點(diǎn)在直線上.所以由中點(diǎn),可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入雙曲線方程可得,即,解得(),所以.面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中華文化博大精深,源遠(yuǎn)流長(zhǎng),每年都有大批外國(guó)游客入境觀光旅游或者學(xué)習(xí)等,下面是年至年三個(gè)不同年齡段外國(guó)入境游客數(shù)量的柱狀圖:
下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是:( )
A.年至年外國(guó)入境游客中,歲年齡段人數(shù)明顯較多
B.年以來(lái),三個(gè)年齡段的外國(guó)入境游客數(shù)量都在逐年增加
C.年以來(lái),歲外國(guó)入境游客增加數(shù)量大于歲外國(guó)入境游客增加數(shù)量
D.年,歲外國(guó)入境游客增長(zhǎng)率大于歲外國(guó)入境游客增長(zhǎng)率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.規(guī)定:若數(shù)列{an}滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列,從第r﹣1項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列,則稱(chēng)數(shù)列{an}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的條件下,求出Sn,并證明:對(duì)任意n∈N*,anSn≥a6S6;
(3)已知數(shù)列{an}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”,且a1=﹣10,是否存在正整數(shù)k,m(m>k),使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am?若存在,求出所有的k,m值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)分成,,,,,,組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,分別為樣本平均和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
(1)若一個(gè)零件的尺寸是,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件;
(2)工廠利用分層抽樣的方法從樣本的前組中抽出個(gè)零件,標(biāo)上記號(hào),并從這個(gè)零件中再抽取個(gè),求再次抽取的個(gè)零件中恰有個(gè)尺寸小于的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線和直線的斜率都存在且分別為和,求證:;
(2)若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率為,求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.
(1)求與的解析式;
(2)求證:在區(qū)間上單調(diào)遞增;并求在區(qū)間的反函數(shù);
(3)設(shè)(其中為常數(shù)),若對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩隊(duì)參加聽(tīng)歌猜歌名游戲,每隊(duì)人.隨機(jī)播放一首歌曲, 參賽者開(kāi)始搶答,每人只有一次搶答機(jī)會(huì),答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分,答錯(cuò)得零分, 假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為,乙隊(duì)中人答對(duì)的概率分別為,且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.
(1)若比賽前隨機(jī)從兩隊(duì)的個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范,求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率;
(2)用表示甲隊(duì)的總得分,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)求兩隊(duì)得分之和大于4的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在上的函數(shù),滿足.
(1)證明:2是函數(shù)的周期;
(2)當(dāng)時(shí),,求在時(shí)的解析式,并寫(xiě)出在()時(shí)的解析式;
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù),若關(guān)于x的方程恰好有20個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某年數(shù)學(xué)競(jìng)賽請(qǐng)自以為來(lái)自X星球的選手參加填空題比賽,共10道題目,這位選手做題有一個(gè)古怪的習(xí)慣:先從最后一題(第10題)開(kāi)始往前看,凡是遇到會(huì)的題就作答,遇到不會(huì)的題目先跳過(guò)(允許跳過(guò)所有的題目),一直看到第1題;然后從第1題開(kāi)始往后看,凡是遇到先前未答的題目就隨便寫(xiě)個(gè)答案,遇到先前已答的題目則跳過(guò)(例如,他可以按照9,8,7,4,3,2,1,5,6,10的次序答題),這樣所有的題目均有作答,設(shè)這位選手可能的答題次序有n種,則n的值為( )
A.512B.511C.1024D.1023
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